$9-16=-7$ est une égalité numérique
En Python, il est possible de vérifier qu'une égalité numérique est vraie ou fausse à l'aide la commande ==.
3+6==8
5+7==12
x=12
x+3==17
Une équation est une égalité qui n’est vérifiée que par certaines valeurs particulières attribuées à des lettres appelées inconnues.
Les égalités $$3x + 12 = 5x − 8$$ $$y^2 + 5 = 35 + y$$ sont des équations ; la première n’est vérifiée que par une seule valeur, $x = 10$ ; la seconde l’est par deux valeurs, $y = 6$ et $y = −5$.
La partie à gauche du signe « $=$ » est le premier membre de l’équation et la partie à droite, le second membre.
Les racines ou solutions sont les valeurs particulières qui, substituées aux inconnues de l’équation, rendent ses deux membres égaux numériquement ou identiques.
Soit $a$ et $b$ deux réels. L’équation $2x + a = 3x + b$ a pour solution $x = a − b$. En substitiant, on obtient l’identité $$3a − 2b = 3a − 2b$$
On rappelle les règles de la simple distributivité et de la double distributivité :
En termes de développement et de factorisation, on a, pour tous réels $a$ et $b$ :
| On développe l'expression : | On factorise l'expression : |
|---|---|
| \begin{align*}(x-3)\times (x+3)&=x^2-3^2\\&=x^2-9\end{align*} | \begin{align*}x^2-16&=x^2-4^2\\&=(x-4)\times (x+4)\end{align*} |
| \begin{align*}(3x+5)\times (3x-5)&=(3x)^2-5^2\\&=9x^2-25\end{align*} | \begin{align*}25x^2-81&=(5x)^2-9^2\\&=(5x-9)\times(5x+9)\end{align*} |
| On développe l'expression : | On factorise l'expression : |
|---|---|
| \begin{align*}(x+7)^2&=x^2+2\times x \times 7+7^2\\&=x^2+14x+49\end{align*} | \begin{align*}x^2+8x+16&=x^2+2\times 4\times x+4^2\\&=(x+4)^2\end{align*} |
| \begin{align*}(3x+5)^2&=(3x)^2+2\times3x\times5+5^2\\&=9x^2+30x+25\end{align*} | \begin{align*}25x^2+90x+81&=(5x)^2+2\times 5x \times 9+9^2\\&=(5x+9)^2\end{align*} |
| On développe l'expression : | On factorise l'expression : |
|---|---|
| \begin{align*}(x-3)^2&=x^2-2\times x \times 3+3^2\\&=x^2-6x+9\end{align*} | \begin{align*}x^2-12x+36&=x^2-2\times x \times 6+6^2\\&=(x-6)^2\end{align*} |
| \begin{align*}(2x-3)^2&=(2x)^2-2\times2x\times3+3^2\\&=4x^2-6x+9\end{align*} | \begin{align*}9x^2-6x+1&=(3x)^2-2\times3x\times1+1^2\\&=(3x-1)^2\end{align*} |
Il existe de très belles méthodes géométriques qui permettent d'illuster les identités remarquables et d'autres formules que l'on peut retrouver dans l’excellent livre Proofs Without Words (PWWs) III : Further Exercises in Visual Thinking de Roger B. Nelsen.
from sympy import *
x = symbols("x")
y = symbols("y")
expression = x*(3*x+y)
expand(expression)
Pour tous réels $a$ et $b$ tel que $a \neq 0$, l'équation $a x + b = 0$ admet pour unique solution $x = - \dfrac{b}{a}$.
Si un produit est nul alors, l'un au moins des facteurs est nul. $$\text{Si }A\times B = 0\text{, alors }A=0 \text{ ou }B=0$$
Soient 4 réels $a$, $b$, $c$ et $d$. Les solutions de l'équation $(ax+b)(cx+d)=0$ sont les solutions des équations $ax+b=0$ et $cx+d=0$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(2x-3)(x-5)=0$.
D'après la règle du produit nul, les solutions de l'équation $(2x-3)(x-5)=0$ sont les solutions des équations $2x-3=0$ et $x-5=0$.
On résout donc ces deux dernières équations : D'une part, $$2x-3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$$ D'autre part, $$x-5=0 \Leftrightarrow x=5$$
L'ensemble des solutions de l'équation $(2x-3)(x-5)=0$ est $\mathcal{S}=\left\{\dfrac{3}{2};5\right\}$
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul ET son dénominateur ne l’est pas. $$\text{Si }\dfrac{A}{B} = 0\text{, alors }A=0 \text{ et }B\neq0$$
Soient 4 réels $a$, $b$, $c$ et $d$. Les solutions de l'équation $\dfrac{ax+b}{cx+d}=0$ sont les solutions des équations $ax+b=0$.
Les valeurs qui annulent le dénominateur sont appelées valeurs interdites et doivent être éliminées avant tout calcul.
Résoudre l'équation $\dfrac{7x+3}{3x+5}=0$.
D'après la règle du quotient nul, les solutions de l'équation $\dfrac{7x+3}{3x+5}=0$ sont les solutions de l'équation $7x+3=0$. On résout donc cette dernière équation :
$$7x+3=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{7}$$L'ensemble des solutions de l'équation $\dfrac{7x+3}{3x+5}=0$ est $\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{3}{7}\right\}$.
Un système d'équations est un ensemble d'équations, utilisant les mêmes variables ou inconnues.
Une solution est l'affectation d'une valeur à chacune de ces variables, de telle façon que toutes les équations du système soient satisfaites simultanément
Résoudre un système d'équations linéaires du type $$\begin{cases} ax + by +c &= 0 \\ a'x +b'y +c'&= 0 \end{cases}~~~~~~(\text{où}~a,b,c,a',b',c'~\text{sont des réels})$$ c'est déterminer les valeurs des inconnues pour lesquelles les égalités sont vraies simultanément.
Le couple $(x;y)=(3;5)$ est solution du système d'équations $$\begin{cases} 3x + y &= 14 \\ 7x -4y &= 1 \end{cases}$$ car, quand on remplace $x$ par 3 et $y$ par 5, les deux égalités sont vraies : $$\begin{cases} 3 \times 3 + 5 &= 9+5= 14 \\ 7 \times 3 -4 \times 5 &= 21 - 20=1 \end{cases}$$ En revanche, le couple $(x;y)=(4;2)$ n'est pas solution du système car, quand on remplace $x$ par 3 et $y$ par 5, l'égalité $3x + y = 14$ est vraie mais l'autre égalité est fausse : $7 \times 4 -4 \times 2 = 20\neq1$
On peut également former de systèmes d'équations non linéaires : $$\begin{cases} x^2 + y^2 &= 16 \\ x -y &= 4 \end{cases}$$ Celui-ci admet deux solutions $(x,y)=(4;0)$ et $(x,y)=(0;-4)$.
On obtient un système équivalent à un système donné, c'est-à-dire qui a les mêmes solutions en :
Le système $\begin{cases} 3x + y &= 14 \\ 7x -4y &= 1 \end{cases}$ est équivalent au système $\begin{cases} 6x + 2y &= 28 \\ 7x -4y &= 1 \end{cases}$ car les coefficients de la première équation ont tous été multipliés par 2.
Ces deux systèmes ont donc, si elles existent, les mêmes solutions $x$ et $y$.
On va donner deux méthodes pour résoudre le système d'équations $\begin{cases} 8x + 3y &= 5 \\ -2x - y &= 3 \end{cases}$
| Opérations | Explications |
|---|---|
| $\begin{cases}8 x +3 y &= 5 \\-2x - y &= 3\end{cases}$ | On choisit une variable à éliminer. |
| $\begin{cases} |
8x + 3y &= 5 \
\color{blue}{(}-2x - y &= 3\color{blue}{)\times 3}
\end{cases}$|On multiplie une de des équations par une constante appropriée (et non nulle !) pour que la somme des coefficients fasse zéro.|
|$$\dfrac{\begin{matrix} \\ ~{\bf +} \end{matrix}\begin{cases}
8x + 3y &= 5 \\
-{\color{blue}6}x - {\color{blue}3}y &= {\color{blue}9}
\end{cases}}{~~~~~~2x=14}$$|On additionne les deux équations ensemble pour obtenir une équation avec une seule variable.|
|$$x=\dfrac{14}{2}\Leftrightarrow~~\boxed{x=7}$$|On résoud l'équation en une variable.|
|$$\begin{matrix}
&-6 \times{\color{blue}7} - 3y & = 9\\
\Leftrightarrow&-42 - 3y & = 9 \\
\Leftrightarrow&- 3y & = 51 \\
\Leftrightarrow & \boxed{x=-17} &\\
\end{matrix}$$|On substitue la valeur obtenue dans une des deux équations du système d'origine et on résoud pour trouver l'autre variable.|
| Opérations | Explications |
|---|---|
| $$\begin{matrix}\begin{cases} |
8x + 3y &= 5~(1)\
-2x - y &= 3~(2)
\end{cases}
\
\
(2)\Rightarrow~-y=3+2x
\
~\Rightarrow~y=-3-2x
\end{matrix}$$|On choisit une équation et on exprime une variable en fonction de l'autre. Soyez malin dans le choix de l'équation !|
|\begin{align*}
(1) 8x+3\color{blue}{(-3-2x)}&=5
\\
\Leftrightarrow8x-9-6x&=5
\\
\Leftrightarrow 2x&=14
\\
\Leftrightarrow\boxed{x=7}
\end{align*}|On substitue l'expression dans l'autre équation (ici dans (1)). On résoud l'équation en une variable.|
|\begin{align*}
(2) y=-3-2\times{\color{blue}7}
\\
\boxed{y=-17}
\end{align*}|On substitue la valeur obtenue dans une des deux équations du système d'origine et on résoud pour trouver l'autre variable.|
La solution du système est donc le couple $(7;-17)$.
Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, les coordonnées de l'ensemble des points $M(x;y)$ d'une droite $d$ vérifient une relation du type suivant $$ax+by+c=0$$ où $(a,b) \neq (0,0)$ et $c \in \mathbb{R}$.
La relation $ax+by+c=0$ s'appelle équation cartésienne de la droite $d$.
$(a,b) \neq (0,0)$ signifie que $a$ et $b$ ne sont pas tous les deux nuls en même temps.
Dans le repère ci-contre, une équation de la droite $d$ est $$-x+2y-3=0$$ Par ailleurs, le point $S(3;3)$ appartient à la droite $d$ car en remplaçant ses coordonnées dans le premier membre de l'égalité, on obtient $0$. En effet : \begin{align*} -x_S+2y_S-3=-3+2\times3-3=-6+6=0 \end{align*}
C’est important de préciser qu’il s’agit d’une équation de droite et non l’équation de droite. La nuance peut paraître anecdotique, mais pas du tout.
En effet, dans l’exemple ci-dessus, on a −x + 2y − 3 = 0 comme équation de droite. Mais si l’on multiplie cette équation par un réel quelconque, il s’agira de la même droite ! Par exemple, l’équation −2x + 4y − 6 = 0 est équivalente à −x + 2y − 3 = 0 : on a tout simplement multiplié cette dernière par deux. Si vous tracez ces deux équations dans un logiciel de géométrie dynamique (comme Geogebra), vous obtiendrez deux droites confondues.
Par conséquent, pour une même droite, il existe une infinité d’équations cartésiennes.
Pour la suite de cette partie, on considère deux droites $d$ et $d'$ d'équations respectives $ax+by+c=0$ et {$a'x+b'y+c'=0$}.
Lorsque deux droites sont sécantes, les coordonnées $(x;y)$ de leur point d'interserction sont les solutions du système : $\begin{cases} ax + by +c &= 0 \\ a'x +b'y +c'&= 0 \end{cases}$
Soient deux droites $d$ et $d'$ d'équations respectives $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$ $\text{où}~a,b,c,a',b',c'~\text{sont des réels}$.
Les droites $d$ et $d'$ sont sécantes si et seulement si $\left| \begin{matrix} a & a' \\ b & b' \\ \end{matrix}\right|:=ab'-a'b \neq 0$
La quantité $\left| \begin{matrix} a & a' \\ b & b' \\ \end{matrix}\right|$ s'appelle le déterminant du système $\begin{cases} ax + by +c &= 0 \\ a'x +b'y +c'&= 0 \end{cases}$
Reprenons le système $\begin{cases} 8x + 3y &= 5 \\ -2x - y &= 3 \end{cases}$. Avant même de le résoudre, nous pouvons déterminer s'il a une solution. \ En effet, \begin{align*} \left|\begin{matrix} -3 & -(-1) \\ 8 & -2 \\ \end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix} -3 & 1 \\ 8 & 2 \\ \end{matrix}\right|=-3 \times (-2) - 8 \times 1=6-8=-2 \neq 0 \end{align*} Comme le déterminant est différent de zéro, le système admet une unique solution. \ ~ \ Nous avons résolu ce système plus haut, et nous avions trouvé $(-17;7)$ comme solution. \ Le point $M(-17;7)$ est l'intersection des droites $d$ et $d'$ d'équations respectives $8x + 3y - 5=0$ et $-2x - y - 3=0$.