División de Polinomios

Ejercicios de división de polinomios

www.math.com.mx

José de Jesús Angel Angel
jjaa@math.com.mx

MathCon ⃝c

2007-2008

Contenido

1.	Introducción	2	
2.	División de monomios	3	
3.	División de un polinomio por un monomio	5	
4.	División de un polinomio por un polinomio	7	

Uno de los temas más complicados es la división de polinomios, principalmente porque las operaciones no son muy frecuentes en muchos cursos. De hecho la división no es más que una multiplicación por un inversos multiplicativos.

Otras de las propiedades usadas en la división se listan a continuación:

1. Ley de los signos:

a) + entre + da + b) − entre + d− c) + entre − da − d) − entre − da+

2. Ley de los exponentes:

a) Al dividir potencias con la misma base, las potencias se restan:

an          n  m
am = an-m 

Haremos uso también de la siguiente notación:

1. Un monomio es un término como ax, donde a representa una constante y se llama coeficiente y x
representa una variable y se llama indeterminada.

2. Un binomio tiene la forma de la suma de dos monomios: por ejemplo ax + bx2 .

3. Polinomio se usa para denotar a la suma de más de dos monomios, por ejemplo ax + bx2  + cx3 .

1.   −a2 b entre −ab

Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0  = 1), obtenemos:
−a2 b

−ab

=  +a2−1 b1−1

=  a1 b0
=  a · 1
=   a

−

Paso 2 Por lo tanto

2.   16m6n4 entre −5n3

a2 b
= a
−ab

Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0  = 1), obtenemos:

16m6 n4
−5n3

−

=     16 m6 n4−5
5

16   6   −1
=  − 5 m  n
16m6

Paso 2 Por lo tanto

3.   am+3 entre am+2

=  −

16m6 n4

−

=
−5n3

5n

16m6
5n

Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0  = 1), obtenemos:

am+3
am+2       =  a

m+3−

(m+2)

=  am+3−m−2)
=  a

2. División de monomios                                                                                                                            4

Paso 2 Por lo tanto

1

−

4.   3m4 n5 p6 entre
3

m4np5

am+3
am+2   = a

Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0  = 1), obtenemos:

3m4 n5 p6

=  − 3 m4−4 n5−1 p6−5

1   4      5                      1

− 3 m  np

3
=  −9m0 n4 p1
=  −9n4 p

Paso 2 Por lo tanto

3m4 n5 p6

= −9n4 p

1   4      5

1   x−3

m+5   2

3  x−4

− 3 m  np

m−1

5.   − 15 a     b

c  entre   a     b
5

Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0  = 1), obtenemos:

1   x−3 m+5  2                        1

− 15 a      b      c

15   x

3   (x

4)   m+5

(m  1)   2

3 ax−4 bm−1
5

=  − 3 a − −   −   b
5

−    −   c

1  1   4   2
=  − 9 a b c
1    4   2

Paso 2 Por lo tanto

=  − 9 ab c

1   x−3  m+5  2

− 15 a      b      c

1    4   2

Algunos errores comúnmente hechos:

3 ax−4 bm−1
5

= − 9 ab c

Observación  1 Multiplicar (−a)(bc) no es igual a (−ab)(−ac).

3

División de un polinomio por un monomio

Observación  2 En la división de un polinomio por un monomio se hace uso de la ley distributiva
a(b + c) = ab + ac.

1.   4x8  − 10x6  − 5x4  entre 2x3

Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0  = 1), obtenemos:

4x8 − 10x6 − 5x4

4x8

10x6

5x4

2x3                     =

2x3  −

2x3   − 2x3

2

=   2x8−3 − 5x6−3 − 5 x4−3

Paso 2 Por lo tanto

=   2x5 − 5x3 − 5 x1

2

2

=   2x5 − 5x3 − 5 x

4x8 − 10x6 − 5x4            5
2x3                = 2x

− 5x3

5
− 2 x

2.   4ax+4 bm−1  − 6ax+3 bm−2  + 8ax+2 bm−3  entre −2ax+2 bm−4

Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0  = 1), obtenemos:

4ax+4 bm−1  − 6ax+3 bm−2  + 8ax+2 bm−3
−2ax+2 bm−4

4ax+4 bm−1
=
−2ax+2 bm−4

6ax+3 bm−2
− −2ax+2 bm−4

8ax+2 bm−3
+
−2ax+2 bm−4

=  −2ax+4−(x+2) bm−1−(m−4)
+3ax+3−(x+2) bm−2−(m−4)
−4ax+2−(x+2) bm−3−(m−4)
=  −2a2 b3 + 3a1 b2 − 4a0 b1
=  −2a2 b3 + 3ab2 − 4b

3. División de un polinomio por un monomio                                                                                            6

Paso 2 Por lo tanto

4ax+4 bm−1  − 6ax+3 bm−2  + 8ax+2 bm−3
−2ax+2 bm−4

= −2a2 b3 + 3ab2 − 4b

3  n−1

m+2

1  n  m+1

2  n+1  m

2  3   2

3.   − 4 a     x

+  a x
8

− 3 a

x    entre − 5 a x

Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0  = 1), obtenemos:

3  n−1

m+2

1  n  m+1

2  n+1  m

4

3  n−1

m+2

1  n  m+1

2  n+1  m

− 4 a      x

+  a  x
8
2  3   2

− 3 a      x

−  a      x
=
3   2

a  x

2

2

+ 8               +
3   2

− 3 a      x
2  3   2

− 5 a x

− 5 a x
15

− 5 a x

− 5 a x

=      an−1−(3) xm+2−(2)
8

5
− 16 a
10

n−(3)

xm+1−(2)

+   an+1−(3) xm−(2)
6
15                    5                        10

−

=      an−4 xm
8

an−3 xm−1 +
16

an−2 xm−2
6

Paso 2 Por lo tanto

3  n−1

m+2

1  n  m+1

2  n+1  m

− 4 a      x

+  a  x
8
2  3   2

− 3 a

x       15
=
8

an−4 xm −

5 an−3 xm−1 +
16

10 an−2 xm−2
6

− 5 a x

4

División de un polinomio por un polinomio

Observación  3 En una división de polinomios que tiene la forma:

h
g    √f
r

f es llamado dividendo, g el divisor, h el cociente y r el residuo. Siempre obtendremos que:
f = g · h + r

1.   a2 + 2a − 3 entre a + 3

2

Paso 1 Se dividen los primeros términos del dividendo y el divisor a a

= a, el resultado es el primer

término del cociente:

a
a + 3    √a2 + 2a − 3

Paso 2 Se multiplica a por a + 3, se cambia el signo y se coloca abajo del dividendo:

Paso 3 Se realiza la suma.

a
a + 3    √a2 + 2a − 3
−a2 − 3a

a
a + 3    √a2 + 2a − 3
−a2 − 3a
0 − a

−

Paso 4 Se dividen ahora −a =   1, el resultado será el segundo término del cociente:
a

a − 1
a + 3    √a2 + 2a − 3
−a2 − 3a
−a
Paso 5 Se multiplica −1 por a + 3 se cambia de signo y se coloca abajo del residuo hasta ahora
obtenido:

a − 1
a + 3    √a2 + 2a − 3
−a2 − 3a
−a
a + 3

Paso 6 Se suma lo obtenido con los términos correspondientes:

Paso 7 Por lo tanto

a − 1
a + 3    √a2 + 2a − 3
−a2 − 3a
−a
a + 3
0

2.   am4  − am − 2a entre am + a

a2 + 2a − 3
a + 3

= a − 1

4

Paso 1 Se dividen los primeros términos del dividendo y el divisor am am

= m3 , el resultado es el

primer término del cociente:

m3
am + a    √am4 − am − 2a

Paso 2 Se multiplica m3  por am + a, se cambia el signo y se coloca abajo del dividendo:

Paso 3 Se realiza la suma.

m3
am + a    √am4 − am − 2a
−am4  − am3

m3
am + a    √am4 − am − 2a
−am4  − am3
0 − am3 − am − 2a

3

Paso 4 Se dividen ahora −am am

= −m2 , el resultado será el segundo término del cociente:

m3  − m2
am + a    √am4 − am − 2a
−am4  − am3
0 − am3 − am − 2a
Paso 5 Se multiplica −m2  por am + a, se cambia de signo y se coloca abajo del residuo hasta ahora obtenido:

m3  − m2
am + a    √am4 − am − 2a
−am4  − am3
0 − am3 − am − 2a
am3 + am2

Paso 6 Se suma lo obtenido con los términos correspondientes:

2

Paso 7 Se dividen ahora am

m3  − m2
am + a    √am4 − am − 2a
−am4  − am3
0 − am3 − am − 2a
am3 + am2
0 + am2 − am − 2a

= m, el resultado será el tercer término del cociente:

am

m3  − m2  + m am + a    √am4 − am − 2a
−am4  − am3
0 − am3 − am − 2a
am3 + am2
0 + am2 − am − 2a
Paso 8 Se multiplica m por am + a, se cambia de signo y se coloca abajo del residuo hasta ahora obtenido:

m3  − m2  + m am + a    √am4 − am − 2a
−am4  − am3
0 − am3 − am − 2a
am3 + am2
0 + am2 − am − 2a
−am2  − am
Paso 9 Se suma lo obtenido con los términos correspondientes:

m3  − m2  + m am + a    √am4 − am − 2a
−am4  − am3
0 − am3 − am − 2a
am3 + am2
0 + am2 − am − 2a
−am2  − am
0 − 2am − 2a

−

Paso 10 Se dividen ahora −2am  =   2, el resultado será el cuarto término del cociente:
am

m3  − m2  + m − 2
am + a    √am4 − am − 2a
−am4  − am3
0 − am3 − am − 2a
am3 + am2
0 + am2 − am − 2a
−am2  − am
0 − 2am − 2a
Paso 11 Se multiplica −2 por am + a, se cambia de signo y se coloca abajo del residuo hasta ahora
obtenido:

m3  − m2  + m − 2
am + a    √am4 − am − 2a
−am4  − am3
0 − am3 − am − 2a
am3 + am2
0 + am2 − am − 2a
−am2  − am
0 − 2am − 2a
2am + 2a

Paso 12 Se suma lo obtenido con los términos correspondientes:

Paso 7 Por lo tanto

m3  − m2  + m − 2
am + a    √am4 − am − 2a
−am4  − am3
0 − am3 − am − 2a
am3 + am2
0 + am2 − am − 2a
−am2  − am
0 − 2am − 2a
2am + 2a
0

am4 − am − 2a
am + a

= m3  − m2  + m − 2